Questão de Área

Determine a maior área possível de uma região retangular cujo perímetro é 80m.


Tente responder. Vilma Honorato

Paralelogramo

Um ponto F é tomado no prolongamento do lado AD de um paralelogramo ABCD.
BF intercepta a diagonal AC no ponto E e o lado DC em G.
Se EF=32 e GF=24, determine o valor de BE.

Padrão Triangular e Quadrangular

Problema

---

No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número 3 em um triângulo e o número 2 em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses números.

Qual é o número escrito no triângulo no 56º estágio?

Integrais

 

CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA

O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.

Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:

Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre ou seja:

 

ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0)

                                Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).

                                Portanto:                                                  

ou ainda,  

Exemplos:

   Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.

 

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

 

Fonte: http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais5.php

Vídeo sobre questões classica de raciocínio Lógico

PORCENTAGEM

 

 

    É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
     

    Razão centesimal 
    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

   

    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

    Considere o seguinte problema:

    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

    Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:

• Calcular 10% de 300.       
     
• Calcular 25% de 200kg.
          Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
  

    EXERCÍCIOS:

    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

   

    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

    2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

    Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

   

    Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

---

    Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

    Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

 

    Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

    No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
    Fator de Multiplicação =  1 - taxa de desconto (na forma decimal)

    Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

    Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

http://www.somatematica.com.br/fundam/porcent.php

A Historia da Matemática

Vídeo sobre Porcentagem

O mundo e a Matemática

Vamos resolver esse Desafio:

Uma neta pergunta a sua avó:
- “Vovó, qual é a sua idade?”
Sendo professora de matemática, a avó responde:
- “Vovô e eu, juntos, temos 140 anos. E a idade do vovô é o dobro da minha quando ele tinha a idade que eu tenho agora”.
Qual a idade da vovó? Lembre-se de justificar seu resultado.

Mais um Desafio Matemático:   

 

Uma empresa produz 6 unidades de um produto com um funcionário. Para cada funcionário adicional contratado a empresa obteve um acréscimo de 8 unidades na produção. a produção dessa empresa em função do número de empregados pode ser expressa por:
a) P (X) = 8X  
b) P (X) =  8X - 2
c) P (X) = 8X + 4
d) P (X) = X + 8
e) P (X) =  8X - 4                                                                                                         

Funções Logarítmica e Exponencial

FUNÇÕES INVERSAS

Em linguagem comum, o termo " inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.       
A idéia de resolver uma equação y = f (x) para x com uma função de y, digamos x = g(y), é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a equação
                y = f (x)
pode ser resolvida para x como uma função de y:
              x = g (y)
A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular x se y for conhecido        

O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções f e g,  quando uma função y=f(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo, consideremos as funções    e discutidas acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que

A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x)) é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y)) é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminologia específica para elas.     

Se as funções f e g satisfazem as duas condições g(f(x)) = x para todo x no domínio de f f(g(y)) = y para todo y no domínio de g então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f.

Exemplo
Confirme cada um dos seguintes itens.
(a)   A inversa de         
(b)   A inversa de  
Solução (a).

Solução (b).

OBSERVAÇÃO. O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente para você, uma vez que as operações de multiplicar por 2 e multiplicar por em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp.php

Resolvam esses dois Desafios Matemáticos: 

1) Um prêmio de R$ 16.200,00 foi dividido em parte proporcionais à quantidade de pontos obtidos pelos dois primeiros colocados em uma competição. O primeiro colocado obteve 220 pontos, e o segundo colocado obteve 140 pontos. Quanto recebeu o primeiro?




2) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a sua projeção sobre a hipotenusa mede 1cm. Qual é em, centímetros, a medida da hipotenusa?

Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.
   

• EXPOENTES IRRACIONAIS

Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por

Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como

Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de    isto é,
3,1;   3,14;   3,141;   3,1415;   3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:

Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.            

Tabela

x
3	8,000000
3,1	8,574188
3,14	8,815241
3,141	8,821353
3,1415	8,824411
3,14159	8,824962
3,141592	8,824974

• A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são 
f (x) = ,         f (x) = ,      f (x) =  
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e  f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

      

OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

Funções Logarítmica e Exponencial

• LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y =

Os valores deaproximam-se a e

x
1	2	2,000000
10	1,1	2,593742
100	1,01	2,704814
1000	1,001	2,716924
10.000	1,0001	2,718146
100.000	1,00001	2,718268
1.000.000	1,000001	2,718280

O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites
  e   
A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como
exp(+) = exp() exp()
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP.

Funções Logarítmica e Exponencial

• FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais  sugere que se b > 0 e  b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =  tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a 

    = ()
Porém, se pensarmos ()  como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir , então fica evidente que (). Assim, pode ser reescrito como
y =
de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) =  x. Isto implica que o gráfico de x = e o de y =   são reflexões um do outro, em relação relação à reta  y = x. 

Chamaremos  de função logarítmica na base b.
Em particular, se tomarmos f (x) =  e  (x) =  , e se tivermos em mente que o domínio de  é o mesmo que a imagem de f, então obtemos          

logb(bx)=x para todos os valores reais de x blog x=x para x>0

Em outras palavras, a equação nos diz que as funções log_b(b^x) e b^{log x} cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo 
     

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
  

• FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE

 Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação
yx  + y +1 = x
não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como
     y = 
Assim dizemos que xy  + y +1 = x define y implicitamente como uma função de x, sendo
     f (x) = 
Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação
    
para y em termos de x, obtemos ; assim, encontramos duas funções que estão definidas implicitamente por , isto é
             e            
Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo  .

y=

y = -

Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição:

Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação.

    Assim, por exemplo, a equação define as funções e implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do círculo .
Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x.
Com persistência, a equação
     
por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação 
    sen(xy) = y
não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções.

Funções Logarítmica e Exponencial

• DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação
    xy = 1     

Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como 
  
da qual tem-se que 


Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada. Podemos diferenciar ambos os lados de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos 
  

Se agora substituirmos   na última expressão, obtemos


que está de acordo com . Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita.

Exemplo 1
Use a diferenciação implícita para achar dy/dx se
    
Resolvendo para dy/dx obtemos 

Note que esta fórmula envolve ambos x e y. A fim de obter uma fórmula para dy/dx que envolva apenas x, teríamos que resolver a equação original para y em termos de x e, então, substituir em . Entretanto, isto é impossível de ser feito; assim, somos forçados a deixar a fórmula dy/dx em termos de x e y.

Exemplo 2
Use a diferenciação implícita para achar se .
Solução. Diferenciado ambos os lados de implicitamente, obtém-se 
  
de que obtemos 
  
Diferenciando ambos os lados de implicitamente, obtém-se
   
Substituindo dentro de e simplificando, usando a equação original, obtemos
      
Nos Exemplos 1 e 2, os resultados das fórmulas para dy/dx envolvem ambos x e y. Embora seja usualmente mais desejável ter a fórmula para dy/dx expressa somente em termos de x, ter a fórmula em termos de x e y não é um impedimento para achar as inclinações e as equações das retas tangentes, desde que as coordenadas x e y do ponto de tangência sejam conhecidas.      

Funções Logarítmica e Exponencial
   

• DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X

A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula 

é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então

sempre que  e   estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que  é diferenciável.
Seja y =  . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como
                
Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos 

Desta forma,   pode ser escrito como


Exemplo
A partir de   

Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de   

Fonte: http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp4.php