domingo, 21 de setembro de 2014


Deixo a todos os internautas um desafio de matemática
 
 
Desafio da matemática

 

Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente, até terminar o conteúdo do vidro que é de 42 pílulas. Em quantos dias ele terminará esse remédio, seguindo essa orientação?

 

O número de ouro

O número de ouro é o representante matemático da perfeição na natureza. Ele é estudado desde a Antiguidade e muitas construções gregas e obras artísticas apresentam esse número como base. O número de ouro é representado pela letra grega fi e é obtido pela proporção

  
= 1.61803399...
 



Mas por que esse número é tão importante? Por que ele representa a perfeição, a beleza da natureza? A resposta é simples: porque ele aparece em quase todo lugar na natureza e nas coisas que consideramos mais belas.

No século XIII, o matemático italiano Leonardo Fibonacci estava estudando o crescimento de uma população de coelhos e se questionou a respeito de quantos coelhos teria no final de um ano, se tivesse somente um casal no início do ano e se nenhum coelho morresse nesse período. Ele se surpreendeu ao descobrir que a partir do terceiro mês, a quantidade de coelhos no mês seguinte era igual à soma dos dois meses anteriores. E dessa forma ele teria 144 coelhos no final do ano. Fibonacci ficou tão intrigado com essa relação que começou a estudar essa sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...) na natureza e a encontrou nas pétalas das rosas, nos caules das árvores e nas conchas em espiral do náutilo, um molusco marinho; à medida que esse molusco vai crescendo, sua concha cresce seguindo a razão áurea, em uma espiral logarítmica.

 





O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia.
Se quiséssemos dividir um segmento [AB] em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

Ou seja, dado um segmento de recta [AB], um ponto C divide este segmento de uma forma mais harmoniosa se existir a proporção de ouro AB/CB = CB/AC (sendo CB o segmento maior). O número de ouro é exactamente o valor da razão AB/CB, a chamada razão de ouro.

A divisão de um segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.

O número de ouro é representado pela letra Φ, em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.
Se desenharmos um rectângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um rectângulo de ouro.

O rectângulo de ouro é um objecto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitectura, na pintura, e até na publicidade. Este facto não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o rectângulo de ouro é de todos os rectângulos o mais agradável à vista.

Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde o rectângulo de ouro aparece. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso quotidiano, encontramos aproximações do rectângulo de ouro, é por exemplo o caso dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, o novo modelo da carta de condução, assim como a forma rectangular da maior parte dos nossos livros.
 

 



 

 



 

 



Origem do zero

 

 
 
Conheça a história do zero e descubra o seu valor!
Conheça a história do zero e descubra o seu valor!
Talvez você nunca tenha se questionado sobre a importância do zero, mas ele desempenha um papel fundamental na Matemática! Você sabia que ele foi um dos últimos algarismos a serem criados? Isso aconteceu porque muitas civilizações antigas não conseguiam compreender a necessidade de um símbolo que indicasse a ausência de uma quantidade.
Provavelmente, você deve ter aprendido nas aulas de Matemática sobre os algarismos romanos, mas você se lembra de qual era o símbolo utilizado pelos romanos para representar o zero?

Representação dos números de 1 a 10 através de algarismos romanos. 
Não precisa pesquisar ou se desesperar! Os romanos não conheciam o zero! Não foi aqui que começou a história desse algarismo! Esse povo aprendeu a representar números extremamente grandes, mas não sabia como representar a falta de um valor numérico.
Assim como nos algarismos romanos, as numerações grega, egípcia, hebraica, entre outras, não possuíam um símbolo para representar o zero. Já os chineses, se quisessem mostrar que não havia um valor, deixavam apenas um espaço em branco. Os indianos utilizavam a palavra sunya para representar o vazio numérico, e os árabes utilizavam sifr com a mesma intenção.
E você sabe por que não utilizamos nenhum desses sistemas de numerações antigos? Porque eles não são eficientes! E por que não são eficientes? Pela ausência do zero! O número 1.355.852, por exemplo, em algarismos romanos, é MCCCLVDCCCLII. Difícil de ler, não é mesmo?
Como de fato a presença de um “zero” era necessária, no século III a.C., uma civilização criou um símbolo para representá-lo: os babilônicos. Eles utilizavam o símbolo http://www.escolakids.com/public/upload/image/simbulo1.jpg ou http://www.escolakids.com/public/upload/image/simbulo2.jpg para representar a ausência de um valor numérico. Hoje utilizamos o símbolo 0 no sistema hindu-arábico com a mesma função.
Mas o que é esse sistema hindu-arábico? É o sistema de numeração decimal que utilizamos hoje, que é formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Esse sistema de numeração foi oficialmente “apresentado ao mundo” em uma publicação de 1202, mas desde o século VII o matemático Brahmagupta já havia feito definições sobre o zero que usamos até hoje! Ele afirmou, por exemplo, que a adição de zero a um número resulta no próprio número, que a soma de zero com zero é zero e que o produto de qualquer número por zero é zero. No entanto, os problemas apareceram com as operações de subtração e divisão!
Na subtração, o problema aparecia ao subtrair um número de zero. Hoje sabemos que o resultado para essa subtração é um número negativo, mas, nessa época, os números inteiros ainda não eram conhecidos. E a divisão por zero? Esse foi outro grande problema! O grande algebrista Bhaskara verificou que, quando se divide um número por outro muito pequeno, o quociente é um número muito grande. Por exemplo, ao dividir 2 por 0,0000001, o resultado é 20.000.000! Bhaskara concluiu que, da divisão de um número por zero, o resultado deveria ser infinito. Matematicamente, dizemos que uma divisão por zero é indeterminada!
Depois de todas essas informações, você já sabe um pouco mais sobre a história do zero, mas e sobre o seu valor? Numericamente, o zero representa “nada”, uma ausência de valor, todavia, semanticamente, esse algarismo tem um valor infinitamente grande, sendo totalmente indispensável! 
 
 
 



 

A História dos Algarismos






O valor de cada nú

Os números foram criados, ao longo da história, diante da necessidade do homem, pois precisavam de uma forma de representar as quantidades.

As primeiras representações numéricas apareceram em razão da necessidade de se fazer a contagem dos animais, por exemplo. Os pastores soltavam seu rebanho pela manhã e contavam esses animais através de pedrinhas que eram colocadas num saco. Para cada animal, usava-se uma pedrinha. Ao final do dia, ao buscar o rebanho, os pastores contavam de forma inversa, retirando do saco uma pedrinha para cada animal.




Contagem registrada em ossos e pedras


Nessa época existiam outras formas de representação numérica, como nós em cordas ou riscos feitos em ossos e pedras, sendo que cada região utilizava uma forma diferente.

O homem percebeu que precisava de uma forma única de representar essas quantidades, para facilitar o entendimento entre os diferentes povos.

Os egípcios foram um dos primeiros povos a criar um sistema de numeração.




Sistema de numeração dos povos egípcios

Os romanos também inventaram uma forma de contar as coisas, ou seja, o seu sistema de numeração, conhecidos como números romanos. Podemos encontrá-los até hoje, sendo usados na escrita dos séculos, em relógios, capítulos de livros, nomes dos papas, etc.





Algarismos romanos

Porém, os números que usamos foram criados pelos indianos, no Norte da Índia, em meados do século V da era cristã. As primeiras inscrições aparecem aproximadamente da forma como escrevemos. Descobriram as posições de se colocar os mesmos para formar os números maiores.

Mas foram os árabes que difundiram essa forma de contagem e por isso ficaram conhecidos como indo-arábicos, através de um grande matemático chamado al-Khwārizmī, que deu o nome aos mesmos de “algarismos”.