Desafios da Matemática

Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.

EXPOENTES IRRACIONAIS

Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por

Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo,

. Para evitar esta complicação, vamos supor que

, mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como

Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir

devemos começar com a representação decimal de

, isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de

isto é,
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:

Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite

, parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é

8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir

como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.

Tabela

x
3	8,000000
3,1	8,574188
3,14	8,815241
3,141	8,821353
3,1415	8,824411
3,14159	8,824962
3,141592	8,824974

A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma f (x) =

, onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são
f (x) =

, f (x) =

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) =

e f (x) =

não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função

é constante, uma vez que

= 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

Funções Logarítmica e Exponencial

LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não

. Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y =

Os valores de

aproximam-se a e

x
1	2	2,000000
10	1,1	2,593742
100	1,01	2,704814
1000	1,001	2,716924
10.000	1,0001	2,718146
100.000	1,00001	2,718268
1.000.000	1,000001	2,718280

O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites

A função exponencial f (x) =

é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação

expressa como
exp(

) = exp(

) exp(

)
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função

com alguma variação do comando EXP.

Funções Logarítmica e Exponencial

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais sugere que se b > 0 e b 1, então o gráfico de y =

satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =

tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x =

para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a

(

)
Porém, se pensarmos

(

) como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir

, então fica evidente que

(

). Assim, pode ser reescrito como
y =

de onde concluímos que a inversa de f (x) =

(x) =

x. Isto implica que o gráfico de x =

e o de y =

são reflexões um do outro, em relação relação à reta y = x.

Chamaremos

de função logarítmica na base b.
Em particular, se tomarmos f (x) =

(x) =

, e se tivermos em mente que o domínio de

é o mesmo que a imagem de f, então obtemos

log_b(b^x)=x para todos os valores reais de x
b^{log x}=x para x>0

Em outras palavras, a equação nos diz que as funções log_b(b^x) e b^{log x} cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE

Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação
yx + y +1 = x
não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como
y =

Assim dizemos que xy + y +1 = x define y implicitamente como uma função de x, sendo
f (x) =

Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação

para y em termos de x, obtemos

; assim, encontramos duas funções que estão definidas implicitamente por

, isto é

Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo

y = -

Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição:

Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação.

Assim, por exemplo, a equação

define as funções

implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do círculo

.
Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x.
Com persistência, a equação

por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação
sen(xy) = y
não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções.

Funções Logarítmica e Exponencial

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação
xy = 1

Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como

da qual tem-se que

Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada. Podemos diferenciar ambos os lados de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos

Se agora substituirmos

na última expressão, obtemos

que está de acordo com

. Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita.

Exemplo 1
Use a diferenciação implícita para achar dy/dx se

Resolvendo para dy/dx obtemos

Note que esta fórmula envolve ambos x e y. A fim de obter uma fórmula para dy/dx que envolva apenas x, teríamos que resolver a equação original para y em termos de x e, então, substituir em

. Entretanto, isto é impossível de ser feito; assim, somos forçados a deixar a fórmula dy/dx em termos de x e y.

Exemplo 2
Use a diferenciação implícita para achar

.
Solução. Diferenciado ambos os lados de

implicitamente, obtém-se

de que obtemos

Diferenciando ambos os lados de

implicitamente, obtém-se

Substituindo

dentro de

e simplificando, usando a equação original, obtemos

Nos Exemplos 1 e 2, os resultados das fórmulas para dy/dx envolvem ambos x e y. Embora seja usualmente mais desejável ter a fórmula para dy/dx expressa somente em termos de x, ter a fórmula em termos de x e y não é um impedimento para achar as inclinações e as equações das retas tangentes, desde que as coordenadas x e y do ponto de tangência sejam conhecidas.

Funções Logarítmica e Exponencial

DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X

A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula

é válida para todos os valores inteiros de n e para n =

. Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então