sábado, 11 de outubro de 2014
quarta-feira, 8 de outubro de 2014
Olha o desafio,tentem resolver.
Um quadriciclo fez um percurso de 240 KM em 3 horas.Qual foi, em quilômetros por hora, a sua velocidade.
DÍGITO VERIFICADOR: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Dígito verificador ou algarismo de controle é um mecanismo de autenticação utilizado para verificar a validade e a autenticidade de um valor numérico, evitando dessa forma fraudes ou erros de transmissão ou digitação.
Consiste em um ou mais algarismos acrescentados ao valor original e calculados a partir deste através de um determinado algoritmo. Números de documentos de identificação, de matrícula, cartões de crédito e quaisquer outros códigos numéricos que necessitem de maior segurança utilizam dígitos verificadores.
Utilização
É usado normalmente em representações numéricas que exijam integridade,
como por exemplo:
- Documentos de identificação
- brasileiros como CPF, CNPJ, RG etc.
- portugueses
como NIF, BI, etc.
- Códigos de Barras como EAN, UPC e ITF.
- Códigos de pagamentos: Número de boleto de cobrança, código de
concessionária pública etc.
- Códigos em geral: Agência bancária, conta
corrente, número de matrícula etc.
Exemplos
O método de cálculo desses dígitos varia conforme o caso, porém muitos
deles se baseiam em duas rotinas tradicionais: Módulo 11 e Módulo 10.
Abaixo temos uma explicação do cálculo dessas duas rotinas:
Módulo 11
Conforme o esquema abaixo, para calcular o primeiro dígito verificador,
cada dígito do número, começando da direita para a esquerda (do dígito menos
significativo para o dígito mais significativo) é multiplicado, na ordem, por
2, depois 3, depois 4 e assim sucessivamente, até o primeiro dígito do número.
O somatório dessas multiplicações dividido por 11. O resto desta divisão
(módulo 11) é subtraido da base (11), o resultado é o dígito verificador. Para
calcular o próximo dígito, considera-se o dígito anterior como parte do número
e efetua-se o mesmo processo. No exemplo, foi considerado o número 261533:
+---+---+---+---+---+---+ +---+
| 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 3 | - | 6 |
+---+---+---+---+---+---+ +---+
|
| | |
| |
x7
x6 x5 x4
x3 x2
|
| | |
| |
=14 =36
=5 =20 =9 =6 soma = 90
+---+---+---+---+---+-> = (90 / 11) =
8,1818 , resto 2 => DV = (11 - 2) = 9
Considerando o número 2615336, onde o 6 é o dígito verificador e a
validação é através do "módulo 11". Não seria considerado um número
válido, pois o número correto é 2615339, onde 9 é o dígito verificador gerado
pelo módulo 11.
O CPF utiliza o
módulo 11 duas vezes seguidas (conforme o exemplo), obtendo dois dígitos
verificadores.
Observação 1: Para calculo de CPF, CNPJ e similares, sempre que o resto
da divisão for 0 ou 1, o dígito será 0.
Observação 2: Para o código de barras, sempre que o resto for 0, 1 ou
10, deverá ser utilizado o dígito 1.
Cálculos variantes poderiam ocorrer, tal como substituir por uma letra,
quando o cálculo do dígito final der 10 ou outro número escolhido. Exemplos são
os casos da utilização do dígito verificador pelo Banco
do Brasil, quando o cálculo resulta em 10, o dígito verificador utilizado é
o X, e da Caixa Econômica Federal e Bradesco, que
quando o cálculo resulta em 10, o digito verificador utilizado é o 0 (no caso
do Bradesco
também pode ser P para poupanças).
Módulo 10
Conforme o esquema abaixo, cada dígito do número, começando da direita
para a esquerda (menos significativo para o mais significativo) é multiplicado,
na ordem, por 2, depois 1, depois 2, depois 1 e assim sucessivamente.
Número exemplo: 261533-4
+---+---+---+---+---+---+ +---+
| 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 3 | - | 4 |
+---+---+---+---+---+---+ +---+
|
| | |
| |
x1
x2 x1 x2
x1 x2
|
| | |
| |
=2 =12
=1 =10 =3 =6
+---+---+---+---+---+-> = (16 / 10) = 1,
resto 6 => DV = (10 - 6) = 4
Em vez de ser feito o somatório das multiplicações, será feito o somatório
dos dígitos das multiplicações (se uma multiplicação der 12, por exemplo, será
somado 1 + 2 = 3).
O somatório será dividido por 10 e se o resto (módulo 10) for diferente
de zero, o dígito será 10 menos este valor. Se o resto (módulo 10) for zero (0)
o DV também será zero (0).
terça-feira, 7 de outubro de 2014
Potências
Potências
1. Definições
Acreditamos que é mais cômodo escrever a soma x + x + x na forma 3x. Igualmente, podemos escrever o produto x.x.x de maneira mais simples, utilizando expoentes. Assim, escrevemos:
x.x.x = x3
Então, para qualquer número x, a escritura x3, que se lê "x à terceira potência" , representa o produto de três fatores iguais a x.
A expressão x3 é uma potência de base x, ou simplesmente potência de x; nela, 3 é um expoente.
Exemplos
z.z.z.z.z = z5
(2.2.2) . (3.3). (5.5.5.5.5.5) = (23).(32).(56)
De um modo geral, para potências com expoentes inteiros, adotaremos as definições que seguem.
Definições
- Sejam a um número real e n um número inteiro, n ³ 2; definimos: an =
- Adotamos a1 = a
- Se a ¹ 0, convencionamos que a0 = 1
- Se a ¹ 0, a escritura a-n representa o inverso de an, isto é
a - n = 
segunda-feira, 6 de outubro de 2014
Números Inteiros - Operações e Propriedades
Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes
sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números
inteiros.
Adição
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.
Adição
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.
1º parcela + 2º parcela = soma ou
total
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b =
b + a
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0
Subtração
O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0
Subtração
O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.
minuendo - subtraendo = resto ou
diferença
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.
A subtração é a operação inversa da adição:
M - S = R ↔ R + S = M
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.
M + S + R = 2 × M
Valor absoluto
O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.
Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo de n".)
Números simétricos
Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0
Exemplos:
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.
O oposto de 5 é -5.
O simétrico de 6 é -6.
O oposto de zero é o próprio zero.
Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo.
Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3
Operações com números inteiros (Z)
Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações.
Adições e subtrações com números inteiros
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:
Exemplo1:
Calcular o valor da seguinte expressão:
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4
Solução:
Faremos duas somas separadas
·
uma só com os números positivos: 10 +
15 + 4 = +29
·
outra só com os números negativos:
(-7) + (-9) + (-3) = -19
Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 -
19 = +10
Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!
Exemplo2:
Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2
1º passo: Achar os totais (+) e (-):
(+): +4 + 3 = +7
(-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:
-27 + 7 = - 20
Multiplicação
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.
1º fator x 2º fator = produto
Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!
Exemplo2:
Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2
1º passo: Achar os totais (+) e (-):
(+): +4 + 3 = +7
(-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:
-27 + 7 = - 20
Multiplicação
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.
1º fator x 2º fator = produto
·
O primeiro fator também pode
ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.
·
A ordem dos fatores nunca altera o
resultado de uma multiplicação: a x b = b x a
·
O número 1 é o elemento neutro
da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a
·
Se adicionarmos uma constante k
a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator:
a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b)
·
Se multiplicarmos um dos
fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k:
a × b = c ↔ (a × k) × b = k × c
·
Podemos distribuir um fator pelos
termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = (a ×
b) ± (a × c)
Divisão inteira
Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:
Q × D + R = N e 0 ≤ R < R
< |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)
A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode
ser negativo.
Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).
Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.
Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).
Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.
8 × 7 + 4 = 60 e 0
≤ 4 < |7|
2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor
é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.
-9 × 7 + 3 = -60 e
0 ≤ 3 < |7|
·
Quando ocorrer R = 0 na
divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a
divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q.
·
Quando a divisão de N por D
for exata diremos que N é divisível por D e D é
divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.
·
O zero é divisível por qualquer
número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0.
·
Todo número inteiro é divisível por
1: N ÷ 1 = N.
·
Se multiplicarmos o dividendo (N)
e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará
multiplicado por k, se R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R ×
k ≥ D.
Multiplicação e divisões com números inteiros
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:
Exemplos:
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:
Exemplos:
|
Sinais iguais (+)
|
Sinais opostos (-)
|
|
(+) × (+) = +
|
(+) × (-) = -
|
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(-) × (-) = +
|
(-) × (+) = -
|
|
(+) ÷ (+) = +
|
(+) ÷ (-) = -
|
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(-) ÷ (-) = +
|
(-) ÷ (+) = -
|
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